Конічна поверхня

Коротко

• Складається з двох однакових половин (порожнин), що сходяться у вершині.
• Якщо напрямна — пряма, поверхня вироджується в площину; якщо вершину віддалити в нескінченність — у циліндричну поверхню.
• Найважливіший випадок — пряма колова конічна поверхня з колом як напрямною.
• Перерізи такої поверхні площинами дають коло, еліпс, параболу або гіперболу.

Візьміть точку в просторі й будь-яку криву, що не проходить через неї. Проведіть через точку й кожну точку кривої пряму — і отримаєте конічну поверхню. Така проста побудова дає один з найважливіших об’єктів геометрії: з нього виростають конічні перерізи, якими описують, зокрема, орбіти небесних тіл.

Означення і терміни

У конічної поверхні три складники:

• вершина — нерухома точка, через яку проходять усі прямі;
• напрямна — задана лінія, зазвичай плоска крива в площині, що не містить вершини;
• твірні — прямі, які з’єднують вершину з точками напрямної й продовжуються в обидва боки.

Оскільки твірні нескінченні, поверхня має дві однакові половини, що сходяться у вершині. Деякі автори називають конічною поверхнею лише одну з них.

Окремі випадки

Напрямна або умова	Що виходить
пряма	площина (вироджений випадок)
коло, вершина проєктується в його центр	пряма колова конічна поверхня
еліпс чи інший конічний переріз	еліптичний конус
вершина віддаляється в нескінченність	циліндрична поверхня

У проєктивній геометрії циліндр так і розглядають — як конус з нескінченно віддаленою вершиною.

Рівняння

В аналітичній геометрії еліптичну конічну поверхню з вершиною на початку координат записують канонічним рівнянням

x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0.

Якщо a = b, це пряма колова конічна поверхня. Такі поверхні належать до поверхонь другого порядку.

Властивості

Конічна поверхня — лінійчата: через кожну її точку проходить пряма, що повністю лежить на ній. Вона також розгортна. Будь-яку ділянку, що не містить вершини, можна накласти на площину без розтягнень, розривів і складок.

Конічні перерізи

Якщо перетнути пряму колову конічну поверхню площиною, що не проходить через вершину, отримаємо одну з кривих:

1. коло — площина перпендикулярна до осі;
2. еліпс — площина похила й перетинає лише одну половину поверхні;
3. парабола — площина паралельна одній з твірних;
4. гіпербола — площина перетинає обидві половини.

Площина, що проходить через вершину, дає вироджені перерізи: точку, пряму або пару прямих.

Ці криві досліджували ще в Академії Платона (Менехм), а найповніший античний трактат «Конічні перерізи» написав Аполлоній Пергський близько 200 року до нашої ери. Рівняння конічних перерізів увели П’єр Ферма й Рене Декарт.

Запитання

Чим конічна поверхня відрізняється від конуса?

Конус у шкільній геометрії — тіло, обмежене частиною конічної поверхні та основою (кругом). Конічна поверхня ж нескінченна й не має «дна»: це лише множина прямих, що проходять через вершину. В аналітичній геометрії конічну поверхню часто теж називають конусом.

Чому конічну поверхню можна розгорнути на площину?

Бо вона лінійчата: через кожну її точку проходить пряма, що цілком лежить на поверхні. Будь-яку частину без вершини можна розкласти на площині без розривів і складок, як паперовий кульок.

Див. також

• Лемніската Рівняння в прямокутних координатах: (x² + y²)² = 2a²(x² − y²), де фокуси лежать у точках (±a; 0).
• Локсодрома Окремі випадки локсодроми — меридіани (кут 0°) і паралелі (кут 90°); решта — спіралі, що нескінченно закручуються навколо полюса.
• Координатна сітка Лінії паралельні осьовому меридіану зони та екватору, а не меридіанам і паралелям на місцевості.
• Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».

Джерела

1. Конічна поверхня — Вікіпедія (українська)
2. Conical surface — Wikipedia (англійська)
3. Конічний переріз — Вікіпедія (українська)
4. Привалов І. І. Аналітична геометрія. — 17-те вид. — Київ: ДВТЛ УРСР, 1953.

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.