Аналітична геометрія

Коротко

• Кожній точці площини ставиться у відповідність пара чисел, точці простору — трійка; лінії й поверхні стають рівняннями.
• Основи сформулювали незалежно Рене Декарт («Геометрія», 1637) і П’єр Ферма; тому її ще називають декартовою геометрією.
• Порядок геометричного образу дорівнює степеню його алгебраїчного рівняння: прямі й площини — першого порядку, конічні перерізи й квадрики — другого.
• Об’єкти вищих порядків вивчає алгебраїчна геометрія, а застосування диференціального числення привело до диференціальної геометрії.

Коло радіуса 5 із центром у початку координат можна намалювати циркулем, а можна записати одним рядком: x² + y² = 25. Друге не менш точне за перше, і з ним можна працювати як із будь-яким рівнянням — розв’язувати, перетворювати, порівнювати. На цій ідеї перекладу геометрії мовою алгебри й тримається аналітична геометрія.

Метод координат

На площині вибирають початок відліку й дві осі. Тоді кожна точка отримує пару чисел (x, y), а в просторі — трійку (x, y, z). Лінії й поверхні перетворюються на множини точок, координати яких задовольняють певне рівняння.

Степінь алгебраїчного рівняння визначає порядок геометричного образу:

Порядок	На площині	У просторі
Перший	пряма (ax + by + c = 0)	площина
Другий	коло, еліпс, гіпербола, парабола	сфера, еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, конуси, циліндри

Класична аналітична геометрія обмежується переважно образами першого й другого порядку. Криві й поверхні вищих порядків — предмет алгебраїчної геометрії.

Окрім прямокутних (декартових) координат уживають полярні на площині, циліндричні й сферичні в просторі. Вибір системи часто вирішує, чи буде рівняння простим.

Попередники

Ідеї, близькі до координат, з’являлися ще в Стародавній Греції. Менехм розв’язував задачі способом, дуже схожим на роботу з координатами. Аполлоній Перзький у «Конічних перерізах» вимірював відстані вздовж діаметра й паралельно дотичній — по суті, абсциси й ординати. Проте до справжньої аналітичної геометрії він не дійшов: не брав до уваги від’ємних величин і щоразу прив’язував систему відліку до вже заданої кривої.

Перський математик XI століття Омар Хайям геометрично розв’язував кубічні рівняння й тим наблизив алгебру до геометрії. Вирішальний крок, однак, зробили лише в XVII столітті.

Декарт і Ферма

1637 року Рене Декарт видав «Міркування про метод» із трьома додатками; один із них, «Геометрія», виклав новий метод. Спершу праця пройшла майже непоміченою — через прогалини в доведеннях і складні рівняння. Визнання прийшло після латинського перекладу з коментарями Франса ван Схотена 1649 року.

Майже одночасно П’єр Ферма написав «Вступ до плоских і просторових місць». Рукопис поширювався в Парижі ще до виходу книжки Декарта, але друком вийшов посмертно. Підходи різнилися: Ферма починав із рівняння й шукав криву, яка йому відповідає, Декарт — з кривої, виводячи її рівняння.

Сучасного вигляду аналітичній геометрії надали Готфрід Лейбніц, Ісаак Ньютон і Леонард Ейлер; саме Ейлер першим систематично застосував метод координат до просторових кривих і поверхонь. Поєднання аналітичної геометрії з диференціальним численням дало початок диференціальній геометрії. Нині її методи працюють у фізиці й техніці, авіації та ракетобудуванні, статистиці й економіці.

Запитання

Хто винайшов аналітичну геометрію — Декарт чи Ферма?

Обидва, незалежно один від одного. Декарт виклав метод у трактаті «Геометрія», доданому 1637 року до «Міркування про метод». Рукопис Ферма «Вступ до плоских і просторових місць» ходив у Парижі приблизно тоді ж, але надрукований був лише після смерті автора. Ферма йшов від рівняння до кривої, Декарт — від кривої до рівняння.

Які криві вивчають у шкільному курсі аналітичної геометрії?

Пряму (рівняння першого степеня) і криві другого порядку — коло, еліпс, гіперболу й параболу. У просторі до них додаються площина та поверхні другого порядку: сфера, еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, конуси й циліндри.

Які системи координат використовують?

Найпоширеніша — прямокутна декартова (x, y, а в просторі ще z). Для задач з обертанням і колами зручні полярні координати на площині, а в просторі — циліндричні й сферичні.

Див. також

• Конічна поверхня Складається з двох однакових половин (порожнин), що сходяться у вершині.
• Лемніската Рівняння в прямокутних координатах: (x² + y²)² = 2a²(x² − y²), де фокуси лежать у точках (±a; 0).
• Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
• Лобачевський Микола Іванович 1829–1830 року в «Казанском вестнике» надрукував працю «Про начала геометрії» — першу в світі публікацію з неевклідової геометрії.

Джерела

1. Аналітична геометрія — Вікіпедія (українська)
2. Analytic geometry — Wikipedia (англійська)

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.