Арифметична прогресія

Коротко

• Загальний вигляд: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …, a₁ + (n − 1)d.
• Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Сума перших n членів: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.
• Кожен член, крім першого, — середнє арифметичне двох сусідніх.

Ряд 2, 5, 8, 11, 14 підкоряється простому правилу: щоразу додаємо 3. Такі послідовності трапляються всюди — у нумерації будинків на одному боці вулиці, у щомісячних однакових внесках, у рівномірному русі, коли за кожну секунду тіло долає ту саму відстань. Математика називає їх арифметичними прогресіями.

Означення

Послідовність a₁, a₂, a₃, … називають арифметичною прогресією, якщо для кожного n виконується рівність aₙ₊₁ = aₙ + d, де d — стале число. Це число називають різницею прогресії: d = aₙ₊₁ − aₙ.

Прогресія завжди монотонна:

• якщо d > 0, вона зростає (1, 4, 7, 10, …);
• якщо d < 0, спадає (20, 15, 10, 5, …);
• якщо d = 0, усі члени однакові (7, 7, 7, …).

Формула n-го члена

Щоб отримати другий член, до першого додають d один раз, третій — двічі, і так далі. Тому n-й член дорівнює:

aₙ = a₁ + (n − 1)d.

Формулу строго доводять методом математичної індукції. Вона дає змогу одразу знайти, наприклад, сотий член прогресії 2, 5, 8, …: a₁₀₀ = 2 + 99 · 3 = 299.

Характеристична властивість

Сусідні з aₙ члени дорівнюють aₙ − d та aₙ + d. Їхнє середнє арифметичне — саме aₙ. Отже, кожен член прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним свого попереднього й наступного членів. Правильне й обернене твердження: якщо ця рівність виконується для всіх членів, послідовність є арифметичною прогресією.

Сума перших n членів

Запишемо суму двічі: у звичайному порядку й у зворотному, і додамо почленно. Кожна пара дає ту саму величину a₁ + aₙ, а пар рівно n. Тому подвоєна сума дорівнює (a₁ + aₙ)n, а сама сума:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2 = (2a₁ + (n − 1)d) · n / 2.

Для ряду 2 + 5 + 8 + 11 + 14: (2 + 14) · 5 / 2 = 40.

Прогресія	a₁	d	a₁₀	S₁₀
натуральні числа	1	1	10	55
непарні числа	1	2	19	100
2, 5, 8, …	2	3	29	155

Сума перших n непарних чисел завжди дорівнює n² — це прямий наслідок формули.

З історії

Популярна історія розповідає, що маленький Карл Фрідріх Гаусс миттєво склав числа від 1 до 100, розбивши їх на 50 пар із сумою 101. Достовірність анекдоту сумнівна, і Гаусс точно не був першим. Подібні правила знали в античності Архімед, Гіпсікл і Діофант, у Китаї — Чжан Цюцзянь, в Індії — Аріабхата, Брахмагупта й Бхаскара II, у середньовічній Європі — Алкуїн, Фібоначчі, Сакробоско.

Запитання

Як перевірити, чи є послідовність арифметичною прогресією?

Порахувати різниці сусідніх членів. Якщо всі вони однакові, це арифметична прогресія. Рівносильна перевірка: кожен член, починаючи з другого, має дорівнювати півсумі сусідніх, тобто aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.

Як знайти суму чисел від 1 до 100?

Це арифметична прогресія з a₁ = 1, aₙ = 100, n = 100. За формулою суми: (1 + 100) · 100 / 2 = 5050. Той самий результат дає групування пар з кінців: 1 + 100, 2 + 99 і так далі — 50 пар по 101.

Чим арифметична прогресія відрізняється від геометричної?

В арифметичній до кожного члена додають те саме число, у геометричній — множать на те саме число (знаменник). Приклад: 3, 7, 11, 15 — арифметична з різницею 4; 3, 6, 12, 24 — геометрична зі знаменником 2.

Див. також

• Арифметика Основні дії — додавання, віднімання, множення й ділення; до них часто додають піднесення до степеня й добування кореня.
• Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
• Розділ «Математика» Алгебра, геометрія, математичні поняття та математики.

Джерела

1. Арифметична прогресія — Вікіпедія (українська)
2. Arithmetic progression — Wikipedia (англійська)

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.