Доведення

Коротко

• Складається з трьох елементів: тези, аргументів і демонстрації — логічного зв’язку між ними.
• Буває прямим, коли теза випливає з аргументів, і непрямим, коли тезу обґрунтовують через спростування антитези.
• Окремі правила діють для тези, аргументів і демонстрації; їх порушення дає типові помилки: підміну тези, хибну підставу, коло в доведенні.
• У математиці доведення спирається на аксіоматичний метод, започаткований Евклідом.

Сказати «я впевнений» ще не означає довести. Логіка вимагає, щоб істинність твердження випливала з інших, уже встановлених істин за чіткими правилами. Цю процедуру і називають доведенням — вона однаково потрібна в математиці, суді, науковій суперечці й повсякденній дискусії.

Будова

Кожне доведення має три складники:

• теза — твердження, істинність якого треба обґрунтувати;
• аргументи — положення, на які спирається обґрунтування: аксіоми, факти, наукові закони, визначення;
• демонстрація — логічний зв’язок між аргументами й тезою, тобто схема міркування: дедукція, індукція, аналогія.

Якщо демонстрація дедуктивна або спирається на повну чи математичну індукцію, висновок достовірний. Неповна індукція й аналогія дають лише ймовірний висновок.

Види доведення

Пряме доведення виводить тезу безпосередньо з аргументів. Непряме обґрунтовує тезу через спростування протилежного твердження — антитези — і спирається на закон виключеного третього. Його форми:

• апагогічне («від супротивного») — з антитези виводять наслідки, що суперечать фактам, отже, вона хибна;
• розділове — перебирають усі можливі варіанти й відкидають усі, крім тези, як слідчий, що по черзі виключає підозрюваних.

Правила й помилки

Елемент	Правило	Типова помилка
Теза	чітко сформульована й незмінна до кінця	підміна тези
Теза	не містить суперечності	суперечлива теза
Аргументи	істинні й перевірені	основна хиба, випередження підстави
Аргументи	обґрунтовані окремо від тези	коло в доведенні
Аргументи	достатні для тези	«не випливає»
Демонстрація	відповідає правилам виведення	почетверіння термінів

Помилки бувають ненавмисними (паралогізми) і свідомими, щоб ввести співрозмовника в оману (софізми). До різновидів «не випливає» належать апеляція до авторитету, до жалю, до сили, до натовпу.

Доведення в математиці

Ідея доведення, ймовірно, виникла в геометрії. Перші відомі доведення теорем приписують Фалесові й Гіппократові Хіоському, а Евклід близько 300 року до н. е. побудував «Начала» на аксіоматичному методі: з невизначених понять і аксіом теореми виводять дедуктивно. Сучасна математична логіка розглядає й формальні доведення — послідовності формул, де кожна випливає з попередніх.

Запитання

Що таке доведення від супротивного?

Це різновид непрямого, апагогічного доведення. Припускають, що істинне протилежне тезі твердження (антитеза), і виводять з нього наслідки. Якщо вони суперечать відомим фактам чи вже доведеним істинам, антитеза хибна, а отже, за законом виключеного третього, теза істинна.

Що означає «коло в доведенні»?

Помилку, за якої тезу виводять з аргументів, а самі аргументи обґрунтовують за допомогою цієї ж тези. Латиною її називають circulus vitiosus. Така аргументація нічого не доводить, бо по суті повторює вихідне твердження.

Чим доведення відрізняється від спростування?

Доведення обґрунтовує істинність тези, спростування — показує хибність чи необґрунтованість якогось твердження або самого доведення. Спростувати можна тезу, аргументи або демонстрацію, тобто показати, що теза з аргументів не випливає.

Див. також

• Виключеного третього закон Формула в логіці висловлювань: A ∨ ¬A («A або не A»).
• Арістотель Двадцять років навчався в Академії Платона, але відкинув його вчення про ідеї.
• Класифікація В основі лежить логічна операція поділу поняття: ділене поняття — рід, члени поділу — його види.
• Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
• Розділ «Філософія» Філософські школи й поняття, логіка, етика та естетика, філософи.

Джерела

1. Доведення і спростування: правила та помилки — Освіта.ua
2. Доведення (математика) — Вікіпедія (українська)
3. Mathematical proof — Wikipedia (англійська)

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.