Виключеного третього закон

Коротко

• Формула в логіці висловлювань: A ∨ ¬A («A або не A»).
• Уперше сформульований Арістотелем у «Метафізиці».
• Разом із законами тотожності й суперечності належить до основних законів формальної логіки.
• Інтуїціоністська логіка не визнає його загальнозначущим, а багатозначні логіки допускають третє значення істинності.

«Число зірок у Галактиці парне або непарне». Ніхто не знає, яке саме, і ніколи не порахує, але класична логіка не сумнівається: одне з двох напевно правда. Ця впевненість і є законом виключеного третього — принципом, за яким між твердженням і його запереченням немає проміжного варіанта.

Формулювання

У традиційній логіці закон звучить так: з двох суперечних суджень про той самий предмет, взятий в тому самому відношенні й у той самий час, одне обов’язково істинне, а друге хибне; третього не дано. У сучасній логіці висловлювань його записують формулою A ∨ ¬A, яка є тавтологією — істинна за будь-якого значення A.

Важливо, що закон стосується саме суперечних, а не протилежних суджень. «Ця вода гаряча» і «Ця вода холодна» обидва можуть бути хибними: вода буває теплою. А «Ця вода гаряча» і «Ця вода не гаряча» третього варіанта не допускають.

Історія

Першим закон чітко сформулював Арістотель у «Метафізиці», розглядаючи його поруч із законом суперечності. Середньовічні логіки закріпили латинську формулу tertium non datur, а схоласти докладно обговорювали, чи діє закон для висловлювань про майбутні випадкові події — так звана проблема «завтрашньої морської битви», яку поставив ще Арістотель. У XIX–XX століттях закон увійшов до аксіоматичних систем математичної логіки Джорджа Буля, Готлоба Фреге, Бертрана Рассела.

Критика і обмеження

Закон чудово працює для скінченних, чітко визначених множин, і саме тут старі довідники проводили межу його застосування. Сумніви виникли, коли логіку почали застосовувати до нескінченного:

• Інтуїціонізм. Голландський математик Л. Е. Я. Брауер на початку XX століття заперечив, що закон діє для нескінченних множин. В інтуїціоністській логіці A ∨ ¬A не є теоремою, тому доведення «від супротивного» існування об’єкта там не приймається без його побудови.
• Багатозначні логіки. Польський логік Ян Лукасевич 1920 року запропонував тризначну логіку з проміжним значенням «можливо» для висловлювань про майбутні події, які ще не визначені.
• Нечітка логіка Лотфі Заде (1965) допускає ступені істинності між 0 і 1.

Для більшості математики й повсякденних міркувань закон залишається чинним. Саме на ньому ґрунтуються доведення від супротивного та двійкова логіка комп’ютерних схем.

Запитання

Чим закон виключеного третього відрізняється від закону суперечності?

Закон суперечності забороняє вважати A і не-A істинними одночасно: принаймні одне з них хибне. Закон виключеного третього стверджує інше: принаймні одне з них істинне. Разом вони означають, що з двох суперечних суджень рівно одне істинне.

Чи діє закон для суджень на кшталт «Ця людина висока»?

Для розмитих понять його застосування проблематичне: між «високий» і «невисокий» немає чіткої межі. Саме для таких випадків розробили нечітку логіку, де висловлювання може бути істинним частково.

Чому математики-інтуїціоністи відкидають цей закон?

Для інтуїціоніста твердження істинне лише тоді, коли є спосіб його довести. Для деяких тверджень про нескінченні множини немає ні доведення, ні спростування, тож стверджувати «A або не A» без конкретного доведення одного з них вони вважають неправомірним.

Див. також

• Розділ «Логіка» Усі статті підрозділу «Логіка».

Джерела

1. Закон виключеного третього — Вікіпедія (українська)
2. Wikidata: Q468422

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.