Лемніската

Коротко

• Рівняння в прямокутних координатах: (x² + y²)² = 2a²(x² − y²), де фокуси лежать у точках (±a; 0).
• У полярних координатах: r² = 2a² cos 2φ.
• Площа, обмежена обома петлями, дорівнює 2a².
• Описав Якоб Бернуллі 1694 року; назва від лат. lemniscus — стрічка.

Еліпс знає кожен школяр: сума відстаней від будь-якої його точки до двох фокусів стала. Якщо замість суми взяти добуток, вийде сімейство овалів Кассіні. Один із них, особливий, перетинає сам себе в центрі й нагадує вісімку. Це лемніската, яку 1694 року описав швейцарський математик Якоб Бернуллі.

Визначення

Нехай фокуси F₁ і F₂ розташовані на відстані 2a один від одного. Лемніската — це множина точок M площини, для яких

MF₁ · MF₂ = a².

Отже, добуток відстаней дорівнює квадрату половини міжфокусної відстані. Середина відрізка F₁F₂ сама належить кривій: обидві відстані від неї дорівнюють a.

Рівняння

Якщо помістити фокуси в точки (−a; 0) і (a; 0), рівняння кривої в прямокутних координатах має вигляд

(x² + y²)² = 2a²(x² − y²).

У полярних координатах воно ще простіше: r² = 2a² cos 2φ. З цього видно, що крива існує лише для кутів, де cos 2φ ≥ 0, тобто в секторах від −45° до 45° і від 135° до 225°. Це і є дві петлі вісімки.

Властивості

Властивість	Значення
Центр симетрії	початок координат (вузлова точка)
Осі симетрії	вісь абсцис і вісь ординат
Найбільша відстань від центру	a√2
Площа обох петель	2a²
Кут між дотичними у вузлі	90°

У вузловій точці крива перетинає сама себе під прямим кутом, дотичні там — бісектриси координатних кутів. Лемніската є окремим випадком і овалів Кассіні, і синусоїдальних спіралей, а також образом рівносторонньої гіперболи при інверсії відносно кола з центром у її центрі.

Довжина дуги й еліптичні інтеграли

Обчислити довжину дуги лемніскати елементарними функціями неможливо: вона виражається через еліптичний інтеграл. Італійський математик Джуліо Фаньяно 1718 року показав, як за допомогою циркуля й лінійки поділити дугу лемніскати навпіл. Ці роботи надихнули Ейлера, а згодом Гаусса й Абеля на створення теорії еліптичних функцій. Сталу, пов’язану з довжиною лемніскати, називають лемніскатною сталою, вона дорівнює приблизно 2,622.

Назва

Слово «лемніската» Бернуллі взяв з латини: lemniscus — стрічка, якою перев’язували вінок. За античною традицією такими стрічками прикрашали вінки переможців.

Запитання

Чи лемніската — це знак нескінченності?

За формою дуже схожа. Символ ∞ запровадив англійський математик Джон Валліс 1655 року, на кілька десятиліть раніше, ніж Бернуллі описав свою криву, тож прямого запозичення немає. Проте вісімку-нескінченність часто так і називають «лемніскатою».

Чим лемніската пов’язана з овалами Кассіні?

Овал Кассіні — множина точок, де добуток відстаней до двох фокусів сталий. Якщо цей добуток дорівнює саме квадрату половини міжфокусної відстані, овал «перетискається» в центрі й стає лемніскатою. При більшому добутку виходить один замкнений овал, при меншому — дві окремі петлі.

Див. також

• Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
• Коло Основні елементи: центр, радіус R, хорда, діаметр (найдовша хорда, 2R), дуга, дотична, січна.
• Розділ «Геометрія» Усі статті підрозділу «Геометрія».

Джерела

1. Лемніската Бернуллі — Вікіпедія (українська)
2. Lemniscate of Bernoulli — Wikipedia (англійська)
3. Wikidata: Q736896

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.