Коло

Коротко

• Основні елементи: центр, радіус R, хорда, діаметр (найдовша хорда, 2R), дуга, дотична, січна.
• Довжина кола C = 2πR, площа круга S = πR², де π ≈ 3,14159.
• Рівняння кола з центром (a; b) у прямокутних координатах: (x − a)² + (y − b)² = R².
• Серед усіх замкнених кривих заданої довжини коло обмежує найбільшу площу.

Щоб накреслити коло, досить кілочка, мотузки й палички: закріпити один кінець, натягнути мотузку і обвести. Так розмічали круглі споруди будівельники давнини, і так само працює циркуль. Усі точки, які лишає вістря, віддалені від центра на ту саму відстань — у цьому й полягає означення кола.

Означення і термінологія

Евклід у першій книзі «Начал» описував коло як плоску фігуру, обмежену однією лінією, до якої всі відрізки з певної внутрішньої точки рівні між собою. Сучасне означення коротше: коло — множина точок площини, рівновіддалених від центра.

Основні поняття:

• радіус — відрізок від центра до точки кола, а також його довжина;
• хорда — відрізок, що сполучає дві точки кола; діаметр — хорда, що проходить через центр, удвічі довша за радіус;
• дуга — частина кола між двома його точками;
• центральний кут — кут між двома радіусами; вписаний кут — кут з вершиною на колі, він дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу;
• сектор — частина круга між двома радіусами, сегмент — між хордою та дугою.

Пряма і коло

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати одну (тоді вона дотична) або дві (січна). Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Два кола можуть не перетинатися, дотикатися зовні чи зсередини або перетинатися у двох точках.

Формули

Величина	Формула
довжина кола	C = 2πR
довжина дуги з кутом α (у радіанах)	l = αR
площа круга	S = πR²
площа сектора	S = ½αR²
рівняння кола	(x − a)² + (y − b)² = R²

Число π

Відношення довжини кола до діаметра однакове для всіх кіл; його позначають грецькою літерою π. Давні єгиптяни, судячи з папірусу Рінда (близько 1650 року до н. е.), користувалися наближенням, рівним приблизно 3,16. Архімед у III столітті до н. е., вписуючи й описуючи навколо кола 96-кутники, довів, що π лежить між 3 10/71 і 3 1/7. Позначення π поширив Леонард Ейлер у XVIII столітті. 1761 року Йоганн Ламберт довів ірраціональність π, а 1882 року Фердинанд Ліндеман — трансцендентність.

Коло в природі й техніці

Коло — основа колеса, шестерні, підшипника, труби. Кругова форма розподіляє навантаження рівномірно, тому так будують колодязі, цистерни, арки й купольні споруди. Серед усіх фігур заданого периметра круг має найбільшу площу, тому кругла огорожа чи труба вимагає найменше матеріалу на одиницю охопленої площі.

Запитання

Чим коло відрізняється від круга?

Коло — це лише лінія, «обідок», а круг — уся частина площини всередині цієї лінії разом із нею. Тому кажуть «довжина кола», але «площа круга». В англійській мові обидва поняття в побуті часто називають словом circle, а математики для круга вживають disk; українська шкільна термінологія послідовно розрізняє коло і круг.

Чому квадратура круга неможлива?

Завдання побудувати лише циркулем і лінійкою квадрат, рівновеликий даному кругу, вимагає побудувати відрізок довжиною √π. 1882 року Фердинанд Ліндеман довів, що π — трансцендентне число, тобто не є коренем жодного многочлена з цілими коефіцієнтами. А такі числа циркулем і лінійкою не будуються, тож задача нерозв’язна.

Скільки знаків числа π потрібно на практиці?

Для шкільних задач досить 3,14. Інженерам зазвичай вистачає кількох десятків знаків, навіть для розрахунків космічних траєкторій. Обчислення трильйонів знаків π роблять уже не з практичної потреби, а для перевірки комп’ютерів і алгоритмів.

Див. також

• Лемніската Рівняння в прямокутних координатах: (x² + y²)² = 2a²(x² − y²), де фокуси лежать у точках (±a; 0).
• Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
• Координатна сітка Лінії паралельні осьовому меридіану зони та екватору, а не меридіанам і паралелям на місцевості.
• Розділ «Геометрія» Усі статті підрозділу «Геометрія».

Джерела

1. Коло — Вікіпедія (українська)
2. Wikidata: Q17278
3. Евклід. Начала. Книга I, означення 15–17.

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.