Алгебра

Коротко

• Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
• Елементарна алгебра вчить діяти з буквеними виразами та розв’язувати рівняння; сучасна (абстрактна) вивчає властивості операцій незалежно від природи об’єктів.
• Ключові етапи: «Арифметика» Діофанта, розв’язання кубічних рівнянь у XVI столітті, символіка Вієта й Декарта, теорія Галуа.
• В Україні алгебраїчну школу заснував у Києві Дмитро Граве.

Близько 820-х років у багдадському «Домі мудрості» Мухаммад ібн Муса аль-Хорезмі написав посібник про обчислення за допомогою «аль-джабр» і «аль-мукабала». Першим словом він називав перенесення від’ємного члена в іншу частину рівняння, «відновлення» його; другим — зведення подібних членів. Латинські переклади XII століття донесли до Європи і метод, і слово, з якого постала назва цілої науки.

Від задач до символів

Задачі, що зводяться до лінійних і квадратних рівнянь, уміли розв’язувати ще в Стародавньому Єгипті та Вавилоні у II тисячолітті до н. е., але без буквених позначень — словесними рецептами на конкретних числах. Давньогрецькі математики подавали алгебраїчні співвідношення геометрично: добуток двох чисел уявляли як площу прямокутника. Звідси досі вживані вирази «квадрат» і «куб» числа.

Близько III століття н. е. Діофант Александрійський у творі «Арифметика» вперше ввів скорочені позначення для невідомої та її степенів. Індійські математики, зокрема Брахмагупта (VII століття), працювали з від’ємними числами й нулем.

Європейський розвиток

Час	Подія
1545	Джероламо Кардано публікує у «Великому мистецтві» розв’язання кубічних і рівнянь четвертого степеня, знайдене дель Ферро, Тартальєю та Феррарі
кінець XVI ст.	Франсуа Вієт позначає буквами не лише невідомі, а й коефіцієнти
1637	Рене Декарт запроваджує сучасний запис степенів і позначення невідомих x, y, z
1799	Карл Фрідріх Гаусс доводить основну теорему алгебри
1824–1832	Абель і Галуа показують межі розв’язності рівнянь у радикалах

Праці Галуа поклали початок теорії груп. У XIX столітті з’явилися матриці, кватерніони, булева алгебра логіки.

Сучасна алгебра

У XX столітті, особливо після праць Еммі Нетер та її школи, алгебра стала наукою про алгебраїчні структури — множини з операціями, що підпорядковуються певним аксіомам. Основні з них:

• група — операція з нейтральним і оберненим елементом, як-от повороти фігури;
• кільце — додавання й множення, як у цілих чисел;
• поле — кільце, де можна ділити на ненульові елементи, наприклад раціональні чи дійсні числа;
• векторний простір — основа лінійної алгебри.

Алгебраїчні методи застосовують у криптографії, теорії кодування, квантовій фізиці, комп’ютерній графіці.

Алгебра в Україні

Дмитро Граве, професор Київського університету з 1899 року, створив першу велику математичну школу в Україні, де провідним напрямом стала алгебра. З неї вийшли, зокрема, Отто Шмідт, автор праць з теорії груп, і Микола Чеботарьов, уродженець Кам’янця-Подільського, відомий теоремою про щільність простих чисел.

Запитання

Як правильно — «алгебра» чи «алґебра»?

За чинним українським правописом пишуть «алгебра». Варіант з літерою ґ трапляється в діаспорних та деяких старіших виданнях, які передавали так звук [g] у запозиченнях; саме так гасло було записане в первісному покажчику словника.

Чим алгебра відрізняється від арифметики?

Арифметика працює з конкретними числами, а алгебра — із загальними правилами, записаними буквами. Вираз a + b = b + a описує одразу всі можливі пари чисел. Це дає змогу розв’язувати цілі класи задач одним методом і переносити ті самі правила на матриці, вектори чи перетворення.

Чому немає формули для рівнянь п’ятого степеня?

Норвезький математик Нільс Абель 1824 року довів, що загальне рівняння п’ятого й вищих степенів не розв’язується в радикалах, тобто через корені та арифметичні дії. Еварист Галуа пояснив, від чого це залежить, через властивості групи перестановок коренів рівняння.

Див. також

• Лемніската Рівняння в прямокутних координатах: (x² + y²)² = 2a²(x² − y²), де фокуси лежать у точках (±a; 0).
• Виключеного третього закон Формула в логіці висловлювань: A ∨ ¬A («A або не A»).
• Розділ «Алґебра» Усі статті підрозділу «Алґебра».

Джерела

1. Алгебра — Вікіпедія (українська)
2. Wikidata: Q3968
3. Граве Дмитро Олександрович — Вікіпедія (українська)

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.