Перейти до тексту
Укрсловник енциклопедичний словник

АРИФМЕТИКА

Арифметика

Арифметика, або аритметика (дав.-гр. ἀριθμητική — мистецтво лічби, від ἀριθμός — число; застаріле українське — щотниця), — розділ математики, що вивчає числа, їхні властивості й дії над ними.

Розділ: Математика Оновлено ≈ 2 хв читання

Коротко

  • Основні дії — додавання, віднімання, множення й ділення; до них часто додають піднесення до степеня й добування кореня.
  • Розрізняють практичну (нижчу) арифметику, теоретичну арифметику й теорію чисел, яку довго називали вищою арифметикою.
  • Виникла в Єгипті, Вавилоні, Індії та Китаї; десяткову позиційну систему й нуль Європа отримала від індійців через арабський світ.
  • Алгебру, слідом за Ньютоном і Гауссом, розглядають як узагальнення арифметики.

Минули тисячоліття, перш ніж люди зрозуміли, що два птахи, дві руки й двоє людей мають щось спільне — число «два». З цього вміння відволіктися від форми, кольору й розміру предметів і почалася арифметика, найдавніша частина математики.

Що вивчає арифметика

Предмет арифметики — числові множини, властивості чисел і дії над ними, а також техніка обчислень, вимірювання й історія поняття числа. Основою є натуральні числа й дроби; на базі натуральних будують цілі, дійсні й комплексні числа.

Традиційно виділяють три рівні:

  • практична, або нижча, арифметика — обчислення, пропорції, відсотки, потрібні в повсякденні;
  • теоретична арифметика — логічний аналіз поняття числа;
  • теорія чисел — властивості цілих чисел, подільність, неперервні дроби; її довго називали вищою арифметикою.

Шкільна арифметика знайомить з додатними раціональними числами, діями з ними й ознаками подільності. Пізніше до неї додаються від’ємні, ірраціональні та алгебраїчні числа.

Стародавній світ

Арифметика виникла там, де треба було рахувати майно, міряти поля й час: у Вавилоні, Єгипті, Індії, Китаї. Єгипетський папірус Рінда містить, зокрема, розклад дробів на суму дробів з чисельником один. Вавилоняни мали позиційну систему за основою 60, майя — за основою 20, а єгипетська, грецька й римська системи числення були непозиційними.

Греки перетворили лічбу на науку. Арифметикою займалися Евклід, Архімед, Ератосфен, Діофант. Піфагорійці вважали, що в числах прихована гармонія світу, і досліджували досконалі та дружні числа.

Від Індії до Європи

Десяткову позиційну систему, сучасні цифри й нуль дали індійські математики Аріабхата й Брахмагупта. Ал-Каші в Самаркандській обсерваторії Улугбека в XV столітті розробив десяткові дроби. До Європи ці знання прийшли через арабський світ; вирішальну роль відіграла «Книга абака» Фібоначчі (1202). Перша друкована книжка з арифметики вийшла в Італії 1478 року.

Нові часи

Із XVI століття арифметика зливається з алгеброю: Франсуа Вієт почав позначати числа літерами, поширилися від’ємні й комплексні числа. У XVIII столітті завдяки Леонарду Ейлеру теорія чисел стала самостійною дисципліною. У XIX столітті Гаусс, Куммер, Дедекінд узагальнили поняття цілого числа. Важливе узагальнення алгоритму неперервних дробів запропонували український математик Георгій Вороний і німецький математик Герман Мінковський.

Запитання

Чим арифметика відрізняється від алгебри?

Арифметика працює з конкретними числами й вивчає, як з ними обчислювати. Алгебра розглядає самі операції незалежно від того, над якими числами їх виконують, і записує правила літерами. Чіткої межі між ними немає: з XVI століття, після праць Франсуа Вієта, арифметичні правила стали осмислювати мовою алгебри.

Що таке ступені арифметичних дій?

Поділ запропонував Джон Непер. До першого ступеня належать додавання й віднімання, до другого — множення й ділення, до третього — піднесення до степеня й добування кореня. Методист І. В. Арнольд зараховував до третього ступеня ще й логарифмування. Звідси правило черговості: спершу дії вищого ступеня, потім нижчого, якщо дужки не вказують іншого.

Звідки взялися «арабські» цифри?

Їх придумали в Індії: сучасні цифри вживав Аріабхата на початку VI століття, нуль описав Брахмагупта у VII. Через арабських учених цифри потрапили до Європи; перша згадка — у Вігіліанському кодексі 976 року, а поширилися вони після «Книги абака» Леонардо Пізанського (Фібоначчі) 1202 року.

Див. також

  • Алгебра Назва походить від трактату багдадського вченого аль-Хорезмі (IX століття) про розв’язування рівнянь «відновленням і протиставленням».
  • Доведення Складається з трьох елементів: тези, аргументів і демонстрації — логічного зв’язку між ними.
  • Лобачевський Микола Іванович 1829–1830 року в «Казанском вестнике» надрукував працю «Про начала геометрії» — першу в світі публікацію з неевклідової геометрії.
  • Коло Основні елементи: центр, радіус R, хорда, діаметр (найдовша хорда, 2R), дуга, дотична, січна.
  • Розділ «Математика» Алгебра, геометрія, математичні поняття та математики.

Джерела

  1. Арифметика — Вікіпедія (українська)
  2. Wikidata: Q11205

Статтю написано редакцією словника за наведеними джерелами; дати й факти звірено між ними. Якщо джерела розходяться, це сказано в тексті.

Поруч у словнику